排列组合计算器 — P(n,r) 与 C(n,r) 在线计算

排列组合计算器是什么？

这个工具用来计算从 n 个互不相同的元素中，排列或选取 r 个元素共有多少种方式。排列关注顺序，统计的是有顺序的安排；组合则不考虑顺序，统计的是单纯的选取结果。这两个概念是概率论、统计学和组合数学中的基础内容。

怎么使用

输入元素总数 n 和要选取的数量 r（需满足 \(r \le n\)），计算器会立刻给出 \(P(n, r)\) 和 \(C(n, r)\) 两个结果。举个例子：从 5 个人里选出 3 人组成一个委员会，属于组合问题；而把 3 个有名次的奖项（如冠亚季军）分配给 5 名参赛者，则属于排列问题。

公式详解

排列公式为 $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$用于统计顺序不同即视为不同方案的情形。组合公式为 $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$相当于把选出的这一组 \(r\) 个元素重新排序的 \(r!\) 种方式都"除掉"。由于组合忽略顺序，所以 \(C(n, r)\) 始终小于或等于 \(P(n, r)\)。

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展示从3个元素中有序选取2个的6种方式的选择树。

排列计算有序的排列方式，组合计算无序的选取方式。

实例演算

设 \(n = 5\)、\(r = 3\)。则 $$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$$即有 60 种有顺序的排列。再除以 \(3! = 6\)，得到 $$C(5, 3) = \frac{60}{6} = 10$$即 10 种不计顺序的组合。也就是说，要在 5 名跑步选手中评出金、银、铜牌共有 60 种方式，但若只是从中挑 3 人组队，则仅有 10 种方式。

常见问题

如果 \(r\) 比 \(n\) 还大怎么办？ 你不可能选出比现有元素更多的数量，因此两个结果都为 0。

\(0!\) 等于多少？ 根据定义，\(0! = 1\)，所以 \(C(n, 0) = 1\)，\(P(n, 0) = 1\)。

为什么输入较大时精度会下降？ 阶乘的增长速度极快，一旦结果超过约 15 位有效数字，便会以浮点数近似值的形式呈现。